DAE

Differential-algebraische Gleichungen

Algebrodifferentialgleichungen oder auch differential-algebraische Gleichungen (DAEs) sind eine Kombination aus gewöhnlichen Differentialgleichungen mit algebraischen Einschränkungen. Sie treten z.B. häufig bei multiphysikalischen Problemen aufgrund von Kopplungsbedingungen auf. Die algebraischen Gleichungen verursachen große numerische Schwierigkeiten, da die Berechnung nicht nur Integration, sondern auch Differenzierung erfordert.

Es ist bekannt dass die Ableitung eine unbeschränkte Operation ist und sie daher schwieriger zu handhaben als die Integration zur Lösung von gewöhnlicher Differentialgleichungen. Betrachten wir eine DAE mit einer sinusförmigen Anregung kleiner Amplitude, aber mit hoher Frequenz, z.B.

\[ \begin{aligned}\dot{x}(t) & = y(t)\\0 & = x(t)\;-\; \varepsilon\sin(\omega t).\end{aligned} \]

Diese sinusförmige Schwingung kann numerisches Rauschen sein, das so klein ist wie die Maschinengenauigkeit, aber dennoch wird ihre Amplitude durch die Frequenz verstärkt.

\[ \begin{aligned}x(t) & = \varepsilon\sin(\omega t)\\y(t) & = \varepsilon \;\omega \cos(\omega t).\end{aligned} \]

Je mehr Ableitungen an der Lösung einer DAE beteiligt sind, desto mehr Probleme können bei den numerischen Berechnungen auftreten. Der DAE-Index ist ein Maß dafür. Deshalb ist es relevant den Index vor einer Simulation zu kennen.

Literatur

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